🛡️ 測定値の処理 のまとめ
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測定値の統計処理まとめ 💡
標準偏差 ： $ SD = \sqrt{ \frac{ \sum (x_i - \bar{x})^2 }{ n } } $
ガウス分布と確率 ：$\pm 1\sigma$は68%、$\pm 2\sigma$は95%。
平均値の標準偏差 ： $ \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{N}} = \sqrt{\frac{\bar{x}}{N}} $
変動係数 ： $CV = 1 / \sqrt{N}$ （$N$は全カウント数）
計数率の標準偏差 ： $\frac{N}{t} \pm \frac{\sqrt{N}}{t}$
時定数（ $\tau$ ） ： 85%応答には 2τ 、95%応答には 3τ の時間が必要。
正味の計数率・不確かさの合成 ： 「2乗して、足して、ルートをとる！」 $ u_c = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + \dots} $
（※各成分を「％（相対値）」に直してから合成すると計算が楽！）
※以下の問題は学習支援を目的として掲載しています。
問題: β線の測定において計測値100カウントが得られたとき、その標準偏差はどれか。
正解: 3
解説: カウント値 N が 100 のとき、ポアソン分布に基づき、その標準偏差は σ ＝ √N ＝ √100 ＝ 10 となります。
正解: 3
解説: カウント値 N が 100 のとき、ポアソン分布に基づき、その標準偏差は σ ＝ √N ＝ √100 ＝ 10 となります。
問題: 確率分布が平均値μ、標準偏差σのGauss<ガウス>分布に従う放射線計測において、測定値がμ ±σ に入る確率に最も近いのはどれか。
正解: 3
解説: 正規分布（ガウス分布）の確率
平均値μ、標準偏差 σ のガウス分布において、μ ± 1σ の範囲内に全データの約 68.3 % 、μ ± 2σ なら約 95.4 %（選択肢の 5 に近い）、μ ± 3σ なら約 99.7 %
正解: 3
解説: 正規分布（ガウス分布）の確率
平均値μ、標準偏差 σ のガウス分布において、μ ± 1σ の範囲内に全データの約 68.3 % 、μ ± 2σ なら約 95.4 %（選択肢の 5 に近い）、μ ± 3σ なら約 99.7 %
問題: ある放射性試料で同一の測定時間の計数を N 回繰り返し、平均計数値は x カウントであった。この平均計数値の標準偏差はどれか。
正解: 5
解説: 平均値の標準偏差：
$$ \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{N}} = \sqrt{\frac{\bar{x}}{N}} $$
（ $\bar{x}$ は測定値の平均、 $N$ は測定回数）
分子の $\sigma$ （または $\sqrt{\bar{x}}$）： 1回測ったときの「標準偏差」。
分母の $\sqrt{N}$：「何回測ったか」
正解: 5
解説: 平均値の標準偏差：
$$ \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{N}} = \sqrt{\frac{\bar{x}}{N}} $$
（ $\bar{x}$ は測定値の平均、 $N$ は測定回数）
分子の $\sigma$ （または $\sqrt{\bar{x}}$）： 1回測ったときの「標準偏差」。
分母の $\sqrt{N}$：「何回測ったか」
問題: 放射線計測で 6 つのカウント値 {64，59，60，62，55，60} を得た。変動係数に最も近いのはどれか。
正解: 2
解説: 変動係数 (CV) の算出
まず 6 回測った値の平均 x̄ ＝ $$\bar{x} = \frac{64 + 59 + 60 + 62 + 55 + 60}{6} = \frac{360}{6} = \mathbf{60}$$
$$平均値の標準偏差 = \frac{\sqrt{60}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{60}{6}} = \sqrt{10} \approx \mathbf{3.16}$$
$$変動係数= \frac{SE}{\bar{x}} = \frac{3.16}{60}$$
正解: 2
解説: 変動係数 (CV) の算出
まず 6 回測った値の平均 x̄ ＝ $$\bar{x} = \frac{64 + 59 + 60 + 62 + 55 + 60}{6} = \frac{360}{6} = \mathbf{60}$$
$$平均値の標準偏差 = \frac{\sqrt{60}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{60}{6}} = \sqrt{10} \approx \mathbf{3.16}$$
$$変動係数= \frac{SE}{\bar{x}} = \frac{3.16}{60}$$
問題: 放射線源からの放射線を測定するとき、測定時間 t の全計数値を N とする。標準偏差を含む計数率はどれか。
正解: 4
解説: 「出た数字（ $N$ ）」も「標準偏差（ $\sqrt{N}$ ）」も、両方セットで時間 $t$ で割り算がルール
$$\frac{N}{t} \pm \frac{\sqrt{N}}{t}$$
正解: 4
解説: 「出た数字（ $N$ ）」も「標準偏差（ $\sqrt{N}$ ）」も、両方セットで時間 $t$ で割り算がルール
$$\frac{N}{t} \pm \frac{\sqrt{N}}{t}$$